IN0015 Diskrete Strukturen, MA0901 Lineare Algebra für Informatik
Nach der Teilnahme am Modul sind die
Studierenden in der Lage, die elementaren Begriffe und Methoden der
reellen Analysis sowie der Konvergenz und Approximation zu verstehen.
Sie sind zudem in der Lage, die Methoden der Differentialrechnung in
einer und in mehreren Veränderlichen sowie der Integralrechnung in einer
Veränderlichen anzuwenden und wichtige Funktionsklassen und einfache
Beispiele von Differentialgleichungen zu verstehen.
Grundlagen zu reellen Zahlen: Anordnung der reellen Zahlen Infimum, Supremum rationale Zahlen dicht in R Dreiecksungleichung, Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Folgen: Konvergenz in C bzw. R Uneigentliche Konvergenz (d.h. Konvergenz nach plus/minus unendlich) Rechenregeln für Grenzwerte asymptotische Gleichheit von Folgen monotone Folgen
Reihen: Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen Wichtige Beispiele: harmonische Reihe, geometrische Reihe, Exponentialreihe, alternierende Reihen Konvergenzkriterien (u.a. Majorantenkriterium, Quotientenkriterium) Umordnung, Cauchy-Produkt von Reihen
Stetigkeit: Zwischenwertsatz Minima und Maxima stetiger Funktionen Kompakte Mengen Umkehrfunktionen
Wichtige Funktionsklassen: Polynome rationale Funktionen Exponentialfunktion und Logarithmus trigonometrische Funktionen
Differentialrechnung einer Veränderlicher: Landau-Symbole Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel, Ableitung der Umkehrfunktion) Mittelwertsatz höhere Ableitungen Taylorformel Potenzreihen Regel von l'Hospital Kurvendiskussion
Integration in einer Veränderlichen: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Partielle Integration, Substitutionsregel Uneigentliche Integrale Parameterabhängige Integrale
Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher: partielle Ableitungen, Gradient, Jacobi- und Hesse-Matrix Notwendige und hinreichend Kriterien für lokale Extrema ebene Kurven
Elementare Einführung in Differentialgleichungen: Klassifizierung, Beispiele Anfangswertprobleme mit separierbarer rechter Seite Lineare Differentialgleichungen
Das Modul wird als Vorlesung mit begleitender
Übungsveranstaltung angeboten. In der Vorlesung werden die Inhalte im
Vortrag durch anschauliche Beispiele sowie durch Diskussion mit den
Studierenden vermittelt. Die Vorlesung soll den Studierenden dabei auch
als Motivation zur eigenständigen inhaltlichen Auseinandersetzung mit
den Themen sowie zum Studium der Literatur dienen. Jeweils passend zu
den Vorlesungsinhalten werden in den Übungsveranstaltungen
Aufgabenblätter und deren Lösungen angeboten, die die Studierenden zur
selbstständigen Kontrolle sowie zur Vertiefung der gelernten Methoden
und Konzepte nutzen sollen. Nachdem dies anfangs durch Anleitung
passiert, wird dies im Laufe des Semesters immer mehr selbstständig
einzeln und zum Teil auch in Kleingruppen vertieft.
Tafelarbeit
1) F. Bornemann: Konkrete Analysis, Springer-Verlag 2008. 2) M. Oberguggenberger, A. Ostermann: Analysis für Informatiker, 2. Auflage, Springer-Verlag 2009.
